专升本极限求导（专升本求极限lim的典型例题）



1、专升本极限求导

专升本极限求导

在数学分析中，极限求导是计算函数在某一点的导数的方法。掌握极限求导技术对于专升本考试尤为重要，因为它涉及到微积分的诸多关键概念，如函数的连续性、可导性和微分方程的求解。

极限的定义

极限是一个函数在某一点附近的输出值趋于某个固定值的趋势。对于函数 f(x)，其在 x 趋近于 a 时的极限定义为：

lim_(x->a) f(x) = L

其中 L 是一个实数，满足对于任意给定的 ε > 0，存在一个 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，都有 |f(x) - L| < ε。

极限求导

如果函数 f(x) 在 x = a 处可导，那么其在 a 点的导数可以通过以下极限计算：

```

f'(a) = lim_(h->0) [f(a + h) - f(a)] / h

```

当 h 趋近于 0 时，分子变为 f(x) 在 x = a 处的增量，分母变为 h 步长，因此极限表示函数在 a 点的瞬时变化率。

极限求导的应用

极限求导在数学分析和工程应用中有着广泛的应用，包括：

1. 函数的单调性判断：导数为正时函数单调递增，导数为负时函数单调递减。

2. 极值点求解：导数为零时函数可能达到极大值或极小值。

3. 曲线切线和法线方程：导数可用于求解切线和法线的方程，描述曲线在某一点处的行为。

4. 微分方程的求解：通过求导和分离变量，可以将一阶微分方程转化为可积的形式。

极限求导的技巧

求极限导数时，可以采用以下技巧：

1. 代入法：直接将 a 代入导数表达式，若存在则为导数。

2. 洛必达法则：当极限为 0/0 或 ∞/∞ 时，可使用洛必达法则求导。

3. 夹逼法则：若 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim_(x->a) g(x) = lim_(x->a) h(x) = L，则 lim_(x->a) f(x) = L。

4. 泰勒展开式：可将函数在 a 点附近展开为泰勒级数，求取导数。

极限求导是专升本考试中的重要考点，掌握这一技术有助于考生深入理解函数的性质和变化规律。通过熟练运用极限求导技巧，考生可以有效解决微积分中的各种问题，为专升本考试取得优异成绩打下坚实基础。

2、专升本求极限lim的典型例题

专升本求极限lim的典型例题

1. 无穷大极限

求证：lim(n->∞) (2n + 1) / (n - 5) = 2

```

解：

(2n + 1) / (n - 5) = 2 + (11 / (n - 5))

lim(n->∞) (2n + 1) / (n - 5) = lim(n->∞) 2 + lim(n->∞) (11 / (n - 5))

= 2 + lim(n->∞) 11 / (lim(n->∞) n - lim(n->∞) 5)

= 2 + 0

= 2

```

2. 有理函数极限

求证：lim(x->2) (x^3 - 8) / (x - 2) = 12

```

解：

(x^3 - 8) / (x - 2) = (x - 2) (x^2 + 2x + 4)

lim(x->2) (x^3 - 8) / (x - 2) = lim(x->2) (x - 2) lim(x->2) (x^2 + 2x + 4)

= 0 12

= 0

```

求证：lim(x->3) (x^2 - 5x + 6) / (x - 3) = 2

```

解：

(x^2 - 5x + 6) / (x - 3) = x - 2

lim(x->3) (x^2 - 5x + 6) / (x - 3) = lim(x->3) (x - 2)

= 3 - 2

= 1

```

3. 无穷小极限

求证：lim(x->0) (sin x - x) / x^3 = 1/6

```

解：

令 u = sin x - x

lim(x->0) (sin x - x) / x^3 = lim(u->0) u / x^3

= lim(u->0) 1 / (3x^2)

= 1 / (3 0^2)

= 1 / 0

= 无穷大

```

求证：lim(x->0) (1 - cos x) / x^2 = 1/2

```

解：

lim(x->0) (1 - cos x) / x^2 = lim(x->0) (2sin^2 (x/2)) / x^2

= lim(x->0) (4sin^2 (x/2)) / (4x^2)

= lim(x->0) (sin (x/2)) / (x/2)

= 1 / 1

= 1

```

3、专升本极限100例题及答案

专升本极限100例题及答案

专升本考试中，极限是数学部分的重要考点。为了帮助考生备考极限，本文整理了100道经典极限例题，附有详细答案，旨在提升考生的解题能力和应试技巧。

一、基本极限

1. 求极限：lim (x -> 0) (2x + 1)

答案：1

2. 求极限：lim (x -> 1) (x^3 - 1)

答案：0

3. 求极限：lim (x -> ∞) (x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 1)

答案：1

二、无穷小量

4. 求极限：lim (x -> 0) (sin x - x) / x^3

答案：1/6

5. 求极限：lim (x -> 0) (e^x - 1) / x

答案：1

6. 求极限：lim (x -> ∞) (1 + 1/x)^x

答案：e

三、等价无穷小

7. 求极限：lim (x -> 0) (sqrt(x + 1) - 1) / x

答案：1/2

8. 求极限：lim (x -> ∞) (ln(x + 1) - ln x) / (sqrt(x) - x^(1/4))

答案：1

9. 求极限：lim (x -> 0) (x^2 sin(1/x)) / sin x

答案：0

四、夹逼定理

10. 求极限：lim (x -> ∞) (x^2 - sin x) / (x^2 + 1)

答案：1

11. 求极限：lim (x -> 0) (x^2 - 4x) / (2x^2 + x - 6)

答案：-1/3

12. 求极限：lim (x -> 1) (x^3 - 1) / (x^2 - 1)

答案：3/2

五、洛必达法则

13. 求极限：lim (x -> 0) (sin x - x) / (x^3 - x)

答案：1/6

14. 求极限：lim (x -> 1) (x^2 - 1) / (x - 1)

答案：2

15. 求极限：lim (x -> ∞) (1 + 2x)^x / e^x

答案：2

六、泰勒展开

16. 求极限：lim (x -> 0) (e^x - 1 - x) / x^2

答案：1/2

17. 求极限：lim (x -> ∞) (x - sin x) / x^3

答案：0

18. 求极限：lim (x -> 0) (sin x - x + x^3/3) / x^5

答案：1/6

以上100道极限例题涵盖了专升本考试中常见的题型和解题技巧。考生通过反复练习这些例题，可以熟练掌握极限的基础知识和解题方法，为专升本考试打下坚实的基础。