专升本数学连续函数（专升本高等数学函数,极限,连续公式大全）



1、专升本数学连续函数

专升本数学连续函数

一、连续函数的概念

1. 定义：设 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内定义，若对于区间内的任意一点 \(c\)，当 \(x\) 趋于 \(c\) 时，\(f(x)\) 趋于 \(f(c)\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内连续。

二、连续函数的性质

1. 保号性：若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内连续，且 \(f(x)\ge g(x)\)，那么 \(f(x)-g(x)\) 也在 \((a,b)\) 内连续。

2. 和差积商定理：若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内连续，那么 \(f(x)\pm g(x)\)、\(f(x)\cdot g(x)\)、\(f(x)/g(x)\)（不为零处）也都在 \((a,b)\) 内连续。

3. 复合函数定理：若 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内连续，\(g(x)\) 在 \(f(x)\) 的值域内连续，则复合函数 \(g(f(x))\) 也在 \((a,b)\) 内连续。

三、间断点的分类

1. 第一类间断点：函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处有定义，但极限不存在，或存在但与 \(f(x_0)\) 不等。

2. 第二类间断点：函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处极限存在，但与 \(f(x_0)\) 不相等。

3. 可去间断点：函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处极限存在，且等于 \(f(x_0)\)，但 \(f(x)\) 本身在 \(x_0\) 处未定义。

四、连续函数的应用

1. 定积分计算

2. 微分学：导数的存在性定理

3. 极限计算：洛必达法则

2、专升本高等数学函数,极限,连续公式大全

专升本高等数学 函数、极限、连续公式大全

函数

1. 函数的定义

函数是变量 x 到变量 y 的对应关系，记作 y = f(x)。

2. 值域和定义域

值域：函数所有可能取值的集合。

定义域：函数自变量 x 的所有可能取值的集合。

3. 函数的图像和性质

函数图像：将函数关系画在坐标系平面上的图形。

函数性质：奇偶性、单调性、最大值、最小值等。

4. 函数的运算

加法：f(x) + g(x)

减法：f(x) - g(x)

乘法：f(x) · g(x)

除法：f(x) / g(x) (g(x) ≠ 0)

复合：f(g(x))

极限

1. 极限的定义

函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限，记作 lim[x -> a] f(x)，是指当 x 越来越接近 a 时，f(x) 的值也越来越接近某个数 L。

2. 求极限的方法

代入法：直接将 x = a 代入 f(x) 式中。

夹逼定理：如果函数 f(x)、g(x)、h(x) 满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 且 lim[x -> a] g(x) = lim[x -> a] h(x) = L，则 lim[x -> a] f(x) = L。

洛必达法则：如果 lim[x -> a] f(x) = lim[x -> a] g(x) = 0 或 ∞，则 lim[x -> a] f(x)/g(x) = lim[x -> a] f'(x)/g'(x) (g'(x) ≠ 0)。

3. 极限的性质

和的极限：lim[x -> a](f(x) + g(x)) = lim[x -> a] f(x) + lim[x -> a] g(x)

积的极限：lim[x -> a] f(x) · g(x) = lim[x -> a] f(x) · lim[x -> a] g(x)

商的极限：lim[x -> a] f(x) / g(x) = lim[x -> a] f(x) / lim[x -> a] g(x) (g(x) ≠ 0)

连续

1. 连续的定义

函数 f(x) 在 x = a 处连续，当且仅当满足以下条件：

f(a) 存在。

lim[x -> a] f(x) 存在且等于 f(a)。

2. 连续性定理

代数和、积、商（分母不为零）构成的函数一定是连续函数。

复合函数的连续性由内层函数的连续性决定。

反函数的连续性由原函数的单调性决定。

3. 间断点的分类

第一类间断点：函数在该点处不连续，但 lim[x -> a] f(x) 存在。

第二类间断点：函数在该点处不连续，且 lim[x -> a] f(x) 不存在。

第三类间断点：函数在该点处不连续，且 lim[x -> a] f(x) = +∞ 或 -∞。

3、专升本数学函数与极限和连续题目库

专升本数学：函数与极限和连续题目库

一、函数

1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

2. 证明函数 f(x) = |x| 在 x = 0 处不可导。

3. 求函数 f(x) = sinx 的原函数。

4. 讨论函数 f(x) = 1/(x-1) 的单调性。

5. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 的极值点。

二、极限

1. 求极限 lim x->2 (x^2 - 4)/(x - 2)。

2. 证明极限 lim x->∞ (1 + 1/x)^x = e。

3. 求极限 lim n->∞ (1 + 1/n)^n。

4. 讨论极限 lim x->0 (sin x)/(e^x - 1)。

5. 求极限 lim (x-1)^n/(x^n - 1), 其中 n 为正整数。

三、连续

1. 证明函数 f(x) = x^2 在 R 上连续。

2. 证明函数 f(x) = |x-1| 在 R 上不连续。

3. 求函数 f(x) = {x, x≥0, -x, x<0} 的间断点。

4. 讨论函数 f(x) = 1/(x^2 - 1) 的连续性。

5. 证明若 lim x->a f(x) = f(a)，则函数 f(x) 在 x = a 处连续。