专升本比较审敛法（比较审敛法需要什么基础知识）



1、专升本比较审敛法

专升本考试：比较审敛法

1. 审敛法的基本思想

审敛法是一种判断无穷级数收敛性或发散性的一种方法。它的基本思想是将所要判断的级数与一个已知敛散性的级数进行比较，从而得出原级的收敛或发散。

2. 审敛法常用的方法

（1）直接比较法

将原级数与一个已知的绝对收敛的级数比较。若原级数的绝对值的每一个项都小于或等于已知绝对收敛级数的对应项，则原级数绝对收敛，从而收敛。否则，原级数发散。

（2）极限比较法

将原级数的每一项与其对应限制相同的已知收敛级数进行比较。若原级的每一项与已知收敛级的每一项极限比存在，且极限值大于 0，则原级数收敛。否则，原级数发散。

（3）比率审敛法

设 \(a_n \ne 0, \forall n \ge N\)，若极限 \(\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\)，则：

若 \(L < 1\)，则原级数收敛。

若 \(L > 1\)，则原级数发散。

若 \(L = 1\)，则审敛法失效，需要采用其他方法判断。

（4）根值审敛法

设 \(a_n > 0, \forall n \ge N\)，若极限 \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n \rvert} = L\)，则：

若 \(L < 1\)，则原级数收敛。

若 \(L > 1\)，则原级数发散。

若 \(L = 1\)，则审敛法失效，需要采用其他方法判断。

3. 注意要点

审敛法只能用于无穷级数的收敛性判断，不能判断发散性。

当审敛法失效时，还需要采用其他方法，如积分检验法、级数展开法等，进行判断。

在使用审敛法时，需要选择合适的已知级数进行比较，要仔细进行极限运算，避免出错。

2、比较审敛法需要什么基础知识

比较审敛法所需基础知识

1. 数列极限

了解数列极限的概念和计算方法。

能够熟练判断数列是否收敛，以及求出收敛值。

知道无穷小量的定义和性质。

2. 函数极限

掌握函数极限的定义和基本性质。

能够求出基本函数的极限。

了解洛必达法则的应用。

3. 幂级数

理解幂级数的定义和收敛性。

能够求出幂级数的敛散半径。

知道泰勒级数的展开式。

4. 微积分基本定理

了解微积分基本定理及其应用。

能够用积分求出面积、体积和工作等问题。

5. 函数单调性

掌握函数单调性的定义和性质。

能够判断函数的单调性和极值点。

6. 柯西序列

理解柯西序列的定义和性质。

能够判定序列是否为柯西序列。

3、比较审敛法及其极限形式例题

比较审敛法及其极限形式例题

在无穷级数收敛性判断中，比较审敛法是一种常用而有效的方法。它将一个待判级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较。

比较审敛法

设\(a_n\)和\(b_n\)是非负项序列。

1. 若 \(a_n \le b_n\)且级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 收敛，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 也收敛。

2. 若 \(a_n \ge b_n\)且级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 发散，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 也发散。

极限形式

比较审敛法在某些情况下可以推广到极限形式。

设 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L\)。

1. 若 \(0 < L < \infty\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 和级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 同时收敛或同时发散。

2. 若 \(L = 0\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛当且仅当级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 收敛。

3. 若 \(L = \infty\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 发散当且仅当级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 发散。

例题

1. 判断级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}\) 的收敛性。

解法：

由于 \(0 \le \frac{1}{n^2+1} \le \frac{1}{n^2}\) 且级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) 为收敛的 p 级数，所以根据比较审敛法，级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}\) 也收敛。

2. 判断级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3+1}{2n^4-1}\) 的收敛性。

解法：

使用极限形式的比较审敛法：

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3+1}{2n^4-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/n}{2/n^4} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} n^3 = \infty$$

由于极限值为无穷，所以根据极限形式的比较审敛法，级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3+1}{2n^4-1}\) 发散。