专升本数学收敛（专升本高等数学必背公式大全）



1、专升本数学收敛

专升本数学：收敛

1. 什么是收敛

收敛是序列或函数的一个基本概念。当序列或函数的各项逐渐趋近于一个特定值时，我们称其为收敛。对于序列，收敛是指序列的各项随着项数的增加而无限接近某个数；对于函数，收敛是指函数在某个点附近的输出值无限接近该点的函数值。

2. 收敛的类型

2.1 逐项收敛

逐项收敛是指序列中每一项都收敛到某个数。例如，序列 {1/n} 逐项收敛到 0，因为它的每一项都随着 n 的增大而接近 0。

2.2 总和收敛

总和收敛是指序列的每一项的和收敛到某个数。例如，序列 {1/2^n} 总和收敛到 1，因为它的每一项的和随着 n 的增大而接近 1。

2.3 强收敛

强收敛是收敛的一种特殊情况，它要求序列的每一项都收敛到同一个数，并且这个数也是序列的极限。例如，序列 {1/n} 强收敛到 0，因为它的每一项都收敛到 0，并且 0 也是序列的极限。

3. 收敛的性质

收敛的序列或函数是柯西序列或柯西函数。

收敛序列或函数的极限是唯一的。

收敛序列或函数的子序列仍然收敛到同一个极限。

收敛序列或函数的和、差、积仍然收敛。

收敛序列或函数与常数相乘仍然收敛。

4. 收敛的应用

收敛在数学中有着广泛的应用，例如：

微积分中，收敛用于定义极限、导数和积分。

数值分析中，收敛用于确定算法的稳定性和收敛速度。

概率论中，收敛用于定义概率分布和期望值。

2、专升本高等数学必背公式大全

专升本高等数学必背公式大全

一、导数

1. 求导法则：

+ 常数的导数为 0

+ x^n 的导数为 nx^(n-1)

+ (u+v)' = u' + v'

+ (uv)' = u'v + uv'

+ (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, v ≠ 0

2. 导数公式：

+ sin x 的导数为 cos x

+ cos x 的导数为 -sin x

+ tan x 的导数为 sec^2 x

+ cot x 的导数为 -csc^2 x

二、积分

1. 积分法则：

+ ∫d(u) = u + C

+ ∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx

+ ∫(uv)dx = u∫vdx - ∫(u'v)dx

+ ∫(u/v)dx = u∫(1/v)dx - ∫(u'v)dx, v ≠ 0

2. 积分公式：

+ ∫sin x dx = -cos x + C

+ ∫cos x dx = sin x + C

+ ∫tan x dx = ln|sec x| + C

+ ∫cot x dx = ln|sin x| + C

三、级数

1. 泰勒展开式：

+ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)

2. 收敛判别法：

+ 级数敛散性判别法：如果级数 ∑a_n 的每一项 a_n 均为非负，则 ∑a_n 收敛当且仅当 n->∞ 时 a_n 趋于 0。

+ 比值敛散性判别法：如果级数 ∑a_n 的每一项 a_n ≠ 0，则 ∑a_n 收敛当且仅当 lim_(n->∞) |a_(n+1)|/|a_n| < 1。

四、多元函数

1. 偏导数：

+ 对 x 的偏导数：?f/?x

+ 对 y 的偏导数：?f/?y

2. 全微分：

+ df = ?f/?x dx + ?f/?y dy

3. 链式法则：

+ ?z/?x = ?z/?u ?u/?x

+ ?z/?y = ?z/?u ?u/?y

五、微分方程

1. 一阶线性微分方程：

+ y' + P(x)y = Q(x)

+ 解法：y = (1/μ) ∫μQ dx, 其中 μ = e^∫P(x)dx

2. 二阶齐次线性微分方程：

+ y + p(x)y' + q(x)y = 0

+ 解法：用特征方程的根求解，一般解为 y = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)

以上是专升本高等数学考试的必备公式，请牢记这些公式以便考试时应用自如。

3、专升本高等数学知识点

专升本高等数学知识点

一、微积分

1. 导数与微分

2. 函数的极值

3. 积分与微积分基本定理

4. 一元函数曲线的弧长

5. 曲面积分

二、多元函数微积分

1. 多元函数极限和连续性

2. 偏导数与可微性

3. 多元函数极值

4. 多重积分

三、无穷级数

1. 级数的概念

2. 敛散性判别法

3. 级数的收敛半径

4. 幂级数

5. 傅里叶级数

四、微分方程

1. 一阶线性微分方程

2. 二阶线性微分方程

3. 高阶线性微分方程

4. 非线性微分方程

5. 数值解微分方程

五、线性代数

1. 矩阵与行列式

2. 向量空间与线性变换

3. 内积与二次型

4. 特征值与特征向量

5. 线性方程组

六、概率论与数理统计

1. 概率论基础

2. 随机变量

3. 正态分布

4. 抽样分布

5. 参数估计

七、数值分析

1. 数值求解方程

2. 数值插值

3. 数值微分与积分

4. 近似解微分方程

5. 计算机辅助数学