极限积分专升本（积分的极 💮 限等于极限的积分的条件）



1、极限积分专升本 🕷

极限积分专 🐬 升本指 🐳 南 🦆

对于有志于通过专升本考试的考生来说，极限积分是高等数学中必不可少的一门课程。掌。握，好，极限积分的。知识点和解题技巧对于提高考 🌸 试分数至关重要本文将为您提供极限积分专升本的全面指南帮助您系统化地复习重点知识提升解题能力

重点知 🌷 识

一、极 🌿 限 🦈

1. 函数 ☘ 极限的概念和性质

2. 极限的计 🐈 算方 🐺 法

3. 无穷大 🐦 极限和无穷小极限

二 🦅 、积 🐒 分 🦋

1. 积分的 🐦 概 🐶 念和性质 🌼

2. 定积分 🦟 的计算方法 🐎

3. 不定积分和 🐶 换 🌷 元积 🐋 分

三、极 🐱 限与积分的关 🐬 系

1. 定积分的几何意义 🌷

2. 定积分的 🐝 第二基本定理

3. 函 🦆 数连续性与 🐺 积分的关系

解 🐟 题 🐠 技 🐬 巧

一 🌸 、极限的求解 🐺 技巧 🐒

1. 代入 🌸 法

2. 因式分解 🦟 法

3. 洛必 🐈 达法则

二、定积分的求 🕷 解技巧

1. 分部积分法 🌺

2. 逐项 🌲 积分 🌴 法

3. 换 🐬 元积 🌿 分 🌸 法

三 🦆 、综合 🐝 解 🐋 题技巧

1. 极限与 🐒 积分的 🐼 结 🦊 合求解

2. 巧用辅助角或 💐 辅助变量 🦋

3. 借 🐴 助几 🌵 何直观 🌲 理解

复 🐵 习 🍁 建议

1. 基础夯实：熟练掌握极 🌺 限和积分的基本概 🕊 念和性质。

2. 重点突破：针对考试大纲重点，复习定积分的第二基本定理和函数 🐳 连续性与 🌺 积分的关 🐋 系。

3. 强化 🐒 练习：多做历年专升本真题和模拟题，巩，固知识点提高解题能力。

4. 查 🦍 漏补 🐧 缺：及时发现薄弱环节，有针对性地进行强化复习 🌷 。

5. 归纳定期归纳解题 🦅 技巧 🍀 ，形成 🐦 解题模板。

通过系统地复习极限积分的重点知识和解题技 🐒 巧，考，生可以有效提升解题能力为极限积分专升本考试奠定坚 🦢 实的基础 🐺 。祝，愿。每位考生都能取得优异的成绩顺利实现自己的升本梦想

2、积分的极限等于极限的 🐱 积分的条件

积 🐵 分的极限等于极限 🍀 的积 🐦 分

积分和极限是微积分中两个 🕷 重要概念。在某些情况下 🐋 积分，的极限，等。于极限 🦁 的积分这对于求解某些积分非常有用

条件 🕷

积分的极限等于极 🦄 限的积分的条件如下：

1. 被积函数必 🐒 须在积分区间内连续。

2. 积 🐡 分区间必须是闭区间。

证明 🌸

定 🦉 理 🌵 ：

如果 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上 🐅 连续，则 🐱

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^) \Delta x = \int_a^b f(x) dx$$

其中 \(x_k^\) 是 \([x_{k-1}, x_k]\) 上 🍁 的任意点 🐼 。

证 🐦 明：

将积分定 🌲 义应用于右边的积 🕸 分 🌺 ：

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x$$

由于 \(x_k^\) 是 \([x_{k-1}, x_k]\) 上的 🦊 任意点，因此：

$$\sum_{k=1}^n f(x_k^) \Delta x \le \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x \le \sum_{k=1}^n f(x_k^) \Delta x$$

取极限 💮 得到：

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^) \Delta x \le \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x \le \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^) \Delta x$$

由于 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上 🌳 连续，因此 \(f(x_k^) \to f(x_k)\) 当因 🌼 此 \(n\to\infty\)。，

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^) \Delta x = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x$$

因此 🌺 ，定理成立。

应用 🐋

积分的极限 🕷 等于极限的积分 🪴 的条件 🐶 在以下情况下很有用：

求解不 🌹 当积分

求解有理 🐞 函 🐞 数 🐶 积分

求 🐴 解 🕊 无理函数 🦄 积分

3、专升本求 🐯 极 🐦 限lim的典型例题

专升本求 🐠 极限lim的典型例题

一 🐠 、不定式极限

1. 极 🕊 限 🦉 存 💮 在

若分子和分母同时 🐱 趋近 🐛 于0，则，极限存在值为分子极限值除以 🦅 分母极限值。

若分子和分母同时趋近于无穷大，则，极限存在值为分子极限 🐞 值除 🕷 以分母 🦋 极限值。

2. 极 🦋 限 🐧 不 🐯 存在

若分子和分母同时趋 🦢 近于无穷小，则极限不存在。

若分 🦋 子和分母同时趋近于无穷大，且分子 🐋 ，增长速度高于 🦁 分母增长速度则极限不存在。

二 🦆 、无理 🐋 式极限

1. 指 🌻 数 🦋 极限 🦍

若 🦊 存在实数 🐒 a使得，则有。

2. 根式极限 🪴

若存 🕸 在实数 🌿 a使得，则有。

3. 对数极 🦋 限

若存在 🌸 实数 🐠 a使得，则 🐠 有。

三 🦉 三 🦢 、角函数极 🌳 限

1. 正弦和余弦 🐠 函数极限

若 🐵 ，则 🌿 。

若，则 🦄 。

2. 正切 🦢 函数极限 🦉

若，则 🐕 。

例 🍁 题 🦉 ：

1. 求 🌷 。

2. 求 🕷 。

3. 求 🌸 。

4. 求 🌷 。

5. 求 🦟 。

答 🦄 案：

1. 1

2. 0

3. 1

4. 不 🐶 存 🦅 在 🐴

5. 2