专升本 🦢 等价极限（专升本求极限的方 🍀 法总结）
- 作者: 陈辛娅
- 来源: 投稿
- 2025-04-03
1、专升本等价 💮 极限
专升 🦟 本等价 🐒 极 🐳 限
1. 等 🦟 价极限 🌺 的 🦋 定义
等价 🦁 极限是指对于集合序列 A1, A2, ..., An, ...，存在集合 A，满足以下条 🌲 件：
对 🐘 于任意正数 ε > 0，存在正 🐝 整数 N，使得当 n > N 时，A \ A_n ? ε 和 A_n \ A ? ε。
2. 等价 ☘ 极 🌻 限的性质
封闭性：等价极限 🐦 的集合 🌷 是闭 🐳 集。
有限交集：任意有 🌷 限个等 🦆 价极限的交集仍然是等价极限。
有 🐵 限并集：任意有限个等价极限的并集 🦉 仍然是 🐯 等价极限。
补集：等价极限 ☘ 的补 🦉 集仍然是等价极限。
3. 等价极 🦊 限的应用 🦍
等 🦟 价极限在许多数 🐬 学领域都有应用 🦈 ，例如：
测 🌹 度 🐵 论：定义测度空间的完备性 🐝 。
拓扑学：定义拓扑 🦈 空间中某个点的闭包和内点。
函数分析 🌻 ：定义 Banach 空间中的弱收敛性。
泛函分析：定义 Hilbert 空间中的强收敛性 🦢 。
4. 等价极限与收敛 🦍 的联 🐕 系
对于一个序列 A1, A2, ..., An, ...，如果它有一个等价极限 A，那么它就收敛到 A。但，是。反，过。来不成立也 🦁 就是说一 🐒 个收敛序列不一定有等价极限
5. 例 🐅 子 🐡
对于集合序列 A_n = [n, n+1]，它的等价极限 🦋 是 [0, ∞)。
对于 🐳 集合序列 A_n = [0, 1/n]，它 🦆 没有等价极限 🍁 。
2、专升 🕊 本求极限的方法
专 🍁 升本 🌾 求极 🌳 限求取方法
在 🕊 专升本考试中，求，极限是高等数学中的一个重要内容也是复习的重点和难点之一。为，了帮助考生更好地复习极限本文了常用求极限的方法：
1. 直 🐝 接 🐘 代入法 🌾
如果极限表达式的分母非零 🦈 ，直，接 🌷 令自变量等于极限点如果不存在不等于的0数，则极限不存在。
2. 约 🐞 分 🐶 法 🌿
如果 🌸 分母含有因 🦢 式，可，以利用约分将分母化简使极限得以 🕷 求出。
3. 因式分解 🍀 法
如果极限表达式的分子或分母可以因式分解可以，利，用 🌻 因式分解的方法将其化简 🕷 从而求出 🦍 极限。
4. 分 🦟 式有理化法 🐋
如果极限表达式中 🌷 含有分子分母均为 🍁 根式的分式，可，以，利 🐳 用分式有理化的技巧将根式化简为有理式从而求出极限。
5. 复合函数求 🐬 极限法
如 🐴 果极限表达式是复合函数，可，以，利用复合 🕷 函数求极限的公式将复合函数化为多个函数的极限乘积从而求出极限。
6. 洛必 🐱 达 🍀 法则 🕷
如果极限表达式为不定的形式如（可0/0、∞/∞），以，利，用洛必达法则对分子分母分别求 🐕 导再求极限 🐵 。
7. 夹逼定理 🐴
如果存在两个函数f(x)和g(x)满足：lim(x->a)f(x) = lim(x->a)g(x) = L，且在 🦆 a的某个邻域内，f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)，则 lim(x->a)h(x) = L。
8. 单 🌴 调 🌸 有界定 🌼 理
如果函数f(x)在 🌸 a的某个邻域内单调递增或单调递减，且，有界则lim(x->a)f(x)存在。
9. 柯西中 🌲 值定理
如 🐴 果函 🐱 数f(x)在[a, b]上连续，那么存在c∈(a, b)，使 🐬 得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
10. 勒贝格 🦄 控制收敛 🐼 定理
如果函数列{fn(x)}在[a, b]上收敛于f(x)，且 🐝 存在一个函数g(x)，使得且|fn(x) - f(x)| ≤ g(x)，那∫[a, b]g(x)dx < ∞，么 🌷 lim(n->∞)∫[a, b]fn(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx。
3、专转 🐎 本等价 🐝 无穷小公式
专转本等 🌿 价 🐧 无穷小公式
定 🦟 义 🐅
专转本等 🦅 价无穷小公式是一种求极 🌻 限的方法，它 🐕 判断两个无穷小量的极限是否相等两个无穷小量。和 f(x) 如 g(x) 果满足：
lim[x->a] f(x)/g(x) = 1
则称 🐺 f(x) 和 🌾 g(x) 等价无穷小，记为：
```
f(x) ~ g(x) (x->a)
```
常 🍀 见等价无穷小 🌺 公式
一些常见 🌸 的等价无穷小公 🐞 式包括：
1. `sin x ~ x` (x->0)
2. `cos x ~ 1` (x->0)
3. `tan x ~ x` (x->0)
4. `log(1 + x) ~ x` (x->0, x>-1)
5. `e^x - 1 ~ x` (x->0)
求 🐅 解技 🐴 巧 🌸
使用专转本等价 🦄 无穷小公式求极限时，可以采用以下技巧：
1. 代入：将无穷小量代入等价无穷小公式中，即 🌻 可得到极限。
2. 化简：如果无穷小量 🐴 不能直接代入，可以先化简再代入。
3. 拆分：如果无穷小量的极限为0，可，以尝试将其拆分成两个 🌺 无穷小量的和再使用等价无穷小公式。
注 🐼 意事 🦆 项 🐵
使用专转 🦋 本等价无穷小公式时，需要注意以下事项：
等价无穷小公式 🐯 只适 🦁 用于无穷小量 💐 的极限比较。
等价无穷小 🌳 公式不适 🐅 用于有穷量的极限比较。
等价无穷小公式的适用范围有限，需 🌺 要根据具 🐧 体情况判断。
