高数专升本求导公式大全（专升本高等数学第二章导数与微分）



1、高数专升本求导公式大全

高数专升本求导公式大全

求导是高等数学中必不可少的基础运算，也是专升本数学考试中的重点内容。熟练掌握求导公式是解题的关键。本文汇总了专升本考试中常见的求导公式，供考生参考。

一、基本求导公式

1. 常数函数：$f(x) = c$，导数为 0。

2. 一次方函数：$f(x) = ax + b$，导数为 a。

3. 多项式函数：$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$，导数为 $a_n n x^{n-1} + a_{n-1} (n-1)x^{n-2} + \cdots + a_2 2x + a_1$。

4. 幂函数：$f(x) = x^n$，导数为 $n x^{n-1}$。

5. 指数函数：$f(x) = e^x$，导数为 $e^x$。

6. 对数函数：$f(x) = \log_a x$，导数为 $\frac{1}{x \ln a}$。

7. 三角函数：

- 正弦函数：$f(x) = \sin x$，导数为 $\cos x$。

- 余弦函数：$f(x) = \cos x$，导数为 $-\sin x$。

- 正切函数：$f(x) = \tan x$，导数为 $\sec^2 x$。

- 余切函数：$f(x) = \cot x$，导数为 $-\csc^2 x$。

二、复合函数求导规则

1. 链式法则：若 $f(x) = g(h(x))$，则 $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$。

2. 反函数求导法则：若 $y = f(x)$ 有反函数 $x = g(y)$，则 $f'(x) = \frac{1}{g'(y)}$。

三、参数方程求导公式

若参数方程为 $\begin{cases} x = x(t) \\\ y = y(t) \end{cases}$，则：

1. 一阶导数：

- $y' = \frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}$

2. 二阶导数：

- $y = \frac{d^2y}{dt^2} / \frac{dx}{dt} - \left(\frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}\right)^2 \cdot \frac{d^2x}{dt^2} / \left(\frac{dx}{dt}\right)^3$

以上是专升本考试中常见的求导公式。熟练掌握这些公式并灵活运用，是解题的关键。考生在备考时，应多做练习题，巩固公式，提升求导能力。

2、专升本高等数学第二章导数与微分

导数与微分

1. 导数的定义

导数是函数在某一点的变化率，反映了函数在该点附近的变化趋势。对于函数 \(y=f(x)\)，在点 \(x_0\) 处导数定义为：

$$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

如果这个极限存在，那么称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导。

2. 微分的定义

微分是导数的另一种表示形式，用于表示函数在某一点的瞬时变化率。对于函数 \(y=f(x)\)，在点 \(x\) 处微分定义为：

$$dy = f'(x) dx$$

其中，\(dx\) 代表 \(x\) 的自变量增量，\(dy\) 代表 \(y\) 相应的函数值增量。

3. 导数的求法

极限法：利用导数的定义直接求解。

代数法：利用已知的导数公式和代数运算求导。

分部积分法：对于乘积或商形式的函数求导。

隐函数求导：对于包含隐含变量的方程求导。

4. 微分在应用中的意义

求函数的极值点和拐点：导数为 0 和微分符号变化的地方。

研究函数的单调性：导数的符号决定函数的增减性。

求曲线的切线方程：利用导数在指定点的斜率求出切线方程。

物理学中的位移、速度和加速度：微分可以表示位置、速度和加速度之间的关系。

5. 相关定理

导数乘积法则：对于函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，它们的乘积的导数为：

$$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

导数商法则：对于函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，它们的商的导数为：

$$(\frac{f}{g})'(x) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

导数链式法则：对于复合函数 \(f(g(x))\)，其导数为：

$$f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

3、专升本高数导数定义的讲解