数列求极限专升本 🐯 （求数列极限 🐡 题型及解题方法）



1、数 🐕 列求极限专升本

1. 数列 🌲 求 🌴 极限的 🐳 类型

数列求极限可分为 🕸 两大类：

有限 🪴 极限：数列存在一个确定的 🐺 极限，即数列的，项在趋于无穷 🐧 大时都收敛到同一个值。

无 🦍 穷极限：数列不存在确定的极 🌺 限，而是趋于正 🐱 无穷或负无穷。

2. 数 🐧 列求 💐 极 ☘ 限的方法

常 🕷 用的数 🐱 列求极 🪴 限方法包括：

夹 🐅 逼准则：若存在两个数列，它，们，的，极限都存在且夹在数列之间则数列的极限也存在且等于两个夹逼数列的极限。

单调有界准则：若数列是单调的（递增或递减），且有界 🐞 （存），在，上界和下界则数列存在极限且等于单调数列的最小上 🐱 界或最大下界。

柯西准则：若对于任意给定 🐎 的正数 ε，都存在 🦁 N，使得当 m, n > N 时则数，|a_m - a_n| < ε，列，收敛且极限存在。

3. 数列求极限的应用 🍀

数列求极限在众多领域都 🌵 有应用，如：

数学分析：作为微积分 🕊 和数学分 🐬 析的基础。

物理学：用于 🍀 描述运动的轨迹、速度和加速度。

金融学：用于分析投资 🐦 收益率 🌼 和风险。

4. 专升本考试中的数 🐘 列求极限 🪴

在专升本考试中，数列求极限是概率论与数理统计考试中的一个重要知识点考。生需要熟练掌握数列求极限的类型、方，法。和应用并能够解决 🐞 相关计算题和证明题

2、求数列极 🌷 限题型及解题方 🦉 法

求数列极限题型 🐯 及解题方法

一 🦊 、数 🐧 列极限的概念 🦋

数 🌷 列极限是指数列中从某一项开始，随，着项数的无穷增加各项的值无限逼近于某个定值。这个定值。称为数列的极限

二 🕸 、数列极限的求解方法

1. 代 🐴 入法

如 💮 果数列的 🌴 第 n 项为 f(n)，且 n 当无穷大时，f(n) 趋于某个定值 a，则数列的 🐴 极限为 a。

2. 夹逼定理 ☘

如果存在两 🌿 个 💐 数列 🌿 { g(n) } 和 { h(n) }，使得对所有充分大的 n，都有 g(n) ≤ f(n) ≤ h(n)，且 lim g(n) = lim h(n) = a，则 lim f(n) = a。

3. 比较 🐛 审敛法

如 🐵 果数 🕸 列 { f(n) } 和 { g(n) } 都大于 0，且 lim g(n) = a ≠ 0，则

当 🦍 lim f(n)/g(n) = a > 0 时 🦆 ，lim f(n) = ∞。

当 🌺 lim f(n)/g(n) = 0 时 🐡 ，lim f(n) = 0。

4. 根式 🌹 审敛法

如 🦆 果 💮 a > 0 且 🐳 lim √[n]f(n) = a，则 lim f(n) = lim a^n = 0。

5. 洛必 🐠 达 🌹 法 ☘ 则

如 🐳 果 🍁 lim f(n) = lim g(n) = 0 或 🦈 lim f(n) = lim g(n) = ∞，则

三 🦁 、常见数 🌷 列极限的 🐺 求解

等比数列：极限为首项 🌿 乘以公比的无穷次幂 🐵 。

等差数列：极 🌺 限为首项加上公比乘以 🕷 项数的无穷倍。

调和数 🐒 列：极限为无穷大。

几何级数：当公比的 🦁 绝对 🐟 值 🪴 小于 1 时，极 1 限为首项除以减去公比的差值。

3、求数列极 🕊 限 🌴 的解题格式

求数列极限 🐎 的解题 🐺 格 🐅 式

1. 审 🐕 题 🕸

确定数列 🌿 的通项公式。

找 🐴 出数列的未 🕊 知极 🐎 限值。

2. 分离变 🐶 量

将数列通项公式中未知 🕷 极限相关的项分离出 🐎 来，记作 \(a_n\)。

3. 确定 ☘ \(a_n\) 的性质

分 🐶 析 🕸 \(a_n\) 的正负性、单调性 🌴 或有界性。

如果 \(a_n\) 是常数 🌷 或零序 🦅 列，则极限为常 💐 数或零。

4. 应用极 🐝 限定 🐼 理

根据 \(a_n\) 的性质，选，择合适的 🐞 极限定理如夹逼定理、比较定理或单调有界定理。

利用定 🦟 理导出 🦟 \(a_n\) 的极限。

5. 对 💮 比 🐧 和

将求得的的 \(a_n\) 极 🌷 限与数列的 🐺 未知极限 🐦 比较。

如果 \(a_n\) 的极限与未知极 🌷 限相同，则 🐬 说明求 🌻 出了数列的极限值。

如果 \(a_n\) 的极限与未知极限不同，则说明数列 ☘ 没有极限或极限 🦄 不存在。

示 🌾 例 🐎 ：

求 🐼 数列 \(a_n = \frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 2n}\) 的极 🐈 限。

解 🦅 ：

1. 审 🐼 题 🐵

通 💐 项公式 🦋 ：\(a_n = \frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 2n}\)

未 🌸 知极 🐟 限：\(L\)

2. 分 🕸 离变量 🦈

\(a_n = \frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 2n} = \frac{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n}}\)

3. 确 🐛 定 \(a_n\) 的性质 🦋

\(a_n\) 中的分数 🦟 分子和分母都是多项式，且分子次数比分母 🦢 次数高。

当 \(n\) 趋于无穷大时，分 🐎 数分子 🌷 和分母都趋于无穷大。

4. 应 🐒 用极限 🐧 定理

使用 🦋 夹逼定理 🐠 ：

存在常数 \(c\) 使得 🐟 \(0 < a_n < c\) 或 \(c < a_n < 0\)，当 \(n\to\infty\) 时 🌹 。

存 🐅 在常数 \(L\) 使得 \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c = L\)。

由 🌷 此得到 🐡 ：\(\lim_{n\to\infty} a_n = 2\)

5. 对比和 💮

\(\lim_{n\to\infty} a_n = 2\)

\(\lim_{n\to\infty} a_n = L\)

比 🦅 较可得 🦟 ：\(L = 2\)

因此，数列 \(a_n\) 的极 🐒 限 🐋 值 🐶 为 \(2\)。