专升本求根号极限（根号极限的求法总结）

1、专升本求根号极限

专升本求根号极限

1. 根号极限的定义

设 \(f(x)\) 为某个区间内定义的函数，如果对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在一个 \(\delta>0\)，使得当满足 \(|x-a|<\delta\) 时，都有 \(\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}|<\varepsilon\)，那么称极限 \(\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{f(a)}\)。

2. 根号极限的性质

根号的平方根定理：若 \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)\)，则 \(\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\lim_{x\to a}\sqrt{g(x)}\)；

根号的和差定理：若 \(\lim_{x\to a}f(x)\) 和 \(\lim_{x\to a}g(x)\) 存在，则 \(\lim_{x\to a}[\sqrt{f(x)\pm\sqrt{g(x)}}]\) 存在，其值为 \(\sqrt{\lim_{x\to a}f(x)}\pm\sqrt{\lim_{x\to a}g(x)}\)；

根号的乘积定理：若 \(\lim_{x\to a}f(x)\) 和 \(\lim_{x\to a}g(x)\) 存在且不为 0，则 \(\lim_{x\to a}[\sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}]\) 存在，其值为 \(\sqrt{\lim_{x\to a}f(x)}\cdot\sqrt{\lim_{x\to a}g(x)}\)。

3. 根号极限的求法

求根号极限时，可以利用以下方法：

直接代入：如果 \(f(a)\ge 0\)，则 \(\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{f(a)}\)；

根号开方展开：设 \(f(x)=a+bx+\cdots\)，则 \(\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\lim_{x\to a}\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}(x-a)+\cdots\right)=a^{\frac{1}{2}}\)；

利用根号性质：根号中可进行因式分解、同类项合并、配方法等操作，化简根式后再求极限；

平方根恒等式：\(\sqrt{a^2}=|a|\)；

间接极限：若 \(\lim_{x\to a}f(x)=0\)，且 \(f(x)>0\) 或 \(f(x)<0\) 均在 \(x\) 的某个邻域内成立，则 \(\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=0\)。

2、根号极限的求法

根号极限的求法

根号极限是指当自变量 x 趋近于某个值时，表达式中包含根号的极限。求解根号极限时，可以使用以下方法：

1. 根号内化简

当根号内部的表达式可以化简时，可以先进行化简，然后再去求根号极限。

例如：

lim(x->2) sqrt(x^2 - 4) = lim(x->2) sqrt((x - 2)(x + 2)) = lim(x->2) |x - 2| = 0

2. 提根号

对于形如 sqrt(x^n) 的根号，如果 n 是偶数，可以将其提为 x^(n/2)。

例如：

```

lim(x->0) sqrt(x^4) = lim(x->0) x^2 = 0

```

3. 乘以共轭

对于一般的根号，可以将其乘以它的共轭来化简表达式。

例如：

```

lim(x->2) sqrt(x - 2) = lim(x->2) sqrt(x - 2) sqrt(x - 2) / sqrt(x - 2) = lim(x->2) (x - 2) / sqrt(x - 2) = lim(x->2) (x - 2) / (sqrt(x - 2)) (sqrt(x - 2) / sqrt(x - 2)) = lim(x->2) x - 2 = 0

```

4. 洛必达法则

对于某些更复杂的根号极限，可以使用洛必达法则求解。这是通过对表达式求导来计算极限的方法。

例如：

```

lim(x->0) sqrt(x) / sin(x) = lim(x->0) (1/2) x^(-1/2) / cos(x) = 0

```

3、高数根号下求极限