等价无穷小专升本（等价无穷小加减替换条件总结）



1、等价无穷小专升本

等价无穷小在专升本中的应用

等价无穷小是高等数学中一个重要的概念，在专升本考试中也占有相当的比重。掌握等价无穷小及其相关知识对专升本考生来说至关重要。

等价无穷小的定义

两个函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋近于 a 时等价无穷小，记作 f(x) ~ g(x) (x → a)，当且仅当：

lim(x→a) [f(x) / g(x)] = 1

等价无穷小的性质

乘法性质：若 f(x) ~ g(x) 且 h(x) ~ k(x) (x → a)，则 f(x)h(x) ~ g(x)k(x) (x → a)

除法性质：若 f(x) ~ g(x) 且 h(x) ~ k(x) (x → a) 且 k(x) ≠ 0，则 f(x)/h(x) ~ g(x)/k(x) (x → a)

幂次性质：若 f(x) > 0，则 f(x)^n ~ g(x)^n (x → a)

等价无穷小的应用

1. 求极限

当一个函数的极限难以直接求解时，可以用等价无穷小将其转化为一个更简单的函数的极限求解。例如：

```

lim(x→0) (sin x - x) = lim(x→0) [sin x - (x - x^3/3)] = lim(x→0) (x - x^3/3) = 0

```

2. 求导数

对于指数函数和对数函数，利用等价无穷小可以简化其求导过程。例如：

```

d/dx (e^x) = lim(h→0) [e^(x+h) - e^x] / h = e^x lim(h→0) [e^h - 1] / h = e^x

```

3. 积分

对于一些不定积分，利用等价无穷小可以将其转化为一个更简单的函数的不定积分求解。例如：

```

∫ (1+x)^2 dx = ∫ (1 + 2x + x^2) dx = x + x^2 + (x^3)/3 + C

```

等价无穷小在专升本考试中具有广泛的应用，掌握其定义、性质和应用方法对考生非常重要。通过熟练运用等价无穷小，考生可以高效准确地求解极限、求导数和积分，在专升本考试中取得优异的成绩。

2、等价无穷小加减替换条件

等价无穷小加减替换条件

定义

等价无穷小加减替换条件是指，当 \(x\to a\) 时（\(a\) 可以是无穷大或无穷小），如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 满足：

1. \(f(x) \sim g(x)\)

2. \(f'(x) \sim g'(x)\)

3. \(f(x) \sim g(x)\)

4. ...

则对于任何整数 \(n\)，都有：

```

f(x) + \cdots + f(x) \sim g(x) + \cdots + g(x) \quad (n\text{ 个})

```

应用

等价无穷小加减替换条件可以用于以下应用：

1. 极限比较检验：比较两个无穷小或无穷大的极限。

2. 收敛半径求解：确定幂级数的收敛半径。

3. 积分函数极限：计算极限积分或求解积分。

4. 级数求和：求解无穷级数的和。

5. 渐近展开：近似表示函数或级数。

补充条件

在某些情况下，上述条件可以放宽或补充：

1. Cauchy 条件：如果 \(f(x) \sim g(x)\) 和 \(f'(x) \sim g'(x)\) 成立，则 \(f(x) + \cdots + f(x) \sim g(x) + \cdots + g(x)\) 成立。

2. 泰勒展开：如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在某点 \(a\) 处具有相等的泰勒展开式的前 \(n\) 项，则 \(f(x) + \cdots + f(x) \sim g(x) + \cdots + g(x)\) 成立。

举例

例子：

求证当 \(x\to 0\) 时，\(x^2\ln x \sim \frac{x^2}{2}\)。

解答：

1. \(f(x) = x^2\ln x, g(x) = \frac{x^2}{2}\)

2. \(f'(x) = 2x\ln x + x, g'(x) = x\)

3. \(f''(x) = 2\ln x + 4, g''(x) = 1\)

由于 \(f(x) \sim g(x), f'(x) \sim g'(x), f''(x) \sim g''(x)\)，根据等价无穷小加减替换条件，有：

```

x^2\ln x + x^2\ln x \sim \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2}

```

即 \(x^2\ln x \sim \frac{x^2}{2}\)。

3、等价无穷小转换使用条件

等价无穷小转换的使用条件

等价无穷小转换是一种在极限计算中经常使用的方法，它可以简化计算的复杂度。但是，使用等价无穷小转换是有条件的，如果不满足这些条件，则可能会导致计算错误。

等价无穷小的定义

两个函数 f(x) 和 g(x) 被称为在 x 趋于 a 时等价无穷小，如果：

```

lim(x -> a) f(x) / g(x) = 1

```

换句话说，它们在 x 趋于 a 时具有相同的无穷小阶。

等价无穷小转换的条件

使用等价无穷小转换的条件如下：

1. 函数必须在 x 趋于 a 时都是无穷小量。

2. 函数的商函数在 x 趋于 a 时必须等于 1。

3. 如果函数包含三角函数或其他非初等函数，则需要额外条件。

注意事项

使用等价无穷小转换时需要特别注意以下事项：

确保函数满足等价无穷小的定义。

转换前后必须满足函数 f(x) 和 g(x) 的定义域。

对于涉及三角函数的转换，需要使用合适的三角恒等式。

等价无穷小转换只能用于极限计算，不能用于积分或微分。