隐函数求导成人 ☘ 高考（隐函数求导怎么求）



1、隐函数 🦉 求导成人高考

隐函数 🦄 求 🌳 导

成人 🐱 高考

一 🦄 、概 🦢 念 🦈

隐函数是指不能直接用 y = f(x) 的形式表示的函数。例如，曲线的 x^2 + y^2 = 1 点 y = f(x) 的，坐。标不能直接写成的 🌺 形式但它仍然是一个函数

二、求导 🌹 方法

对 🌳 于隐函数 F(x, y) = 0，求对 y 的 x 导数的步 🕊 骤如下：

1. 对 F(x, y) 求 🌳 偏导数：

- 对 🦈 x 求偏导 🦆 ：?F/?x

- 对 🌷 y 求 🐴 偏 🍀 导：?F/?y

2. 令 ☘ ?F/?y = 0：

- 这一步将消除 y 作为显函数 💮 的依赖关系。

3. 求 🐈 解 🐠 dy/dx：

- 将 🐬 ?F/?y = 0 代入 ?F/?x，得 💐 到 dy/dx 的表达式。

三 🦢 、例 🐈 题 🐋

求曲线 🕊 x^2 + y^2 = 1 的 🌵 斜 🌴 率。

解 🦈 ：

1. ?F/?x = 2x

2. ?F/?y = 2y

3. ?F/?y = 0 => y = 0 或 🌸 y = x

4. 当 y = 0 时 🐋 ：dy/dx = ?F/?x / ?F/?y = 2x / 2y = 0

5. 当 y = x 时 🌳 ：dy/dx = ?F/?x / ?F/?y = 2x / 2y = 1

因此，曲 🐕 线的斜率为 0 或 1。

2、隐 🍁 函数求导怎 🐯 么求

隐函数求导方 🐘 法

隐函数求导是微积分中求解无法显式求解函 🦋 数求导的一种方 🕊 法。当方程中含有自变量和因变量之间的隐式关系时，就。需要使用隐函数求导

步 🐕 骤 🐳

1. 求 🐘 偏导数：对方程 🐳 两边分别对 🌾 自变量求偏导数。

2. 移项整理：将含因变量导数 🐅 的项移到方程 🐴 的另一边。

3. 求解导数：对含因变 🐦 量导数的项进行求解，得到因变量导数相对于自变量 🦍 的表达式。

例 🌲 子 🦍

求解以 🌲 下隐函数的导数：

x^2 + xy - y^2 = 3

步 🐕 骤 🐞 ：

1. 求 🦄 偏导 🦉 数 🌵 ：

```

2x + y + x(dy/dx) - 2yy' = 0

```

2. 移 🐱 项整理：

```

x(dy/dx) - 2yy' = -2x - y

```

3. 求 🕊 解 🐺 导数 🦅 ：

```

dy/dx = (2x + y) / (2y - x)

```

因此，隐函数 🐎 `x^2 + xy - y^2 = 3` 的导 🕷 数 🌸 为 `dy/dx = (2x + y) / (2y - x)`。

3、隐函 🦉 数例题求导

隐函数 🐘 例题 💮 求 🦈 导

一 🍁 、基本概念

隐函数是在函 🦋 数方程中，未，知数隐藏在其 🌻 他函数表达式的内部无法直接用 🐶 显函数表示。

二 🐒 、求 🐺 导规则

隐函 🦈 数对 🦍 自变量的导数可通 🍁 过以下规则求得：

$$f(x,y)=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}$$

三、例 🐘 题求导

例 1： 求函 🦟 数 `x^2 + y^2 = 9` 在点 🌴 `(3, 0)` 处 🌷 的导数。

解 🕊 ：

1. 令 🦊 `f(x,y) = x^2 + y^2 - 9`。

2. 对 `x` 和 `y` 求 🐠 偏导：

- `?f/?x = 2x`

- `?f/?y = 2y`

3. 将 🦈 点 `(3, 0)` 代入偏 🕷 导 🐼 数：

- `?f/?x = 2(3) = 6`

- `?f/?y = 2(0) = 0`

4. 根据求 🦈 导 🐡 规则：

- `dy/dx = -(6/0)`

由 🦊 于分母 🌴 为 🦉 `0`，该函数在点 `(3, 0)` 处没有导数。

例 2： 求函 🌿 数 `y^3 - xy + 2 = 0` 在点 🦊 `(2, 1)` 处的导 ☘ 数。

解 🌼 ：

1. 令 🦈 `f(x,y) = y^3 - xy + 2`。

2. 对 `x` 和 🐘 `y` 求 🐬 偏 🦉 导：

- `?f/?x = -y`

- `?f/?y = 3y^2 - x`

3. 将点 `(2, 1)` 代入偏 ☘ 导 🌸 数：

- `?f/?x = -1`

- `?f/?y = 3(1)^2 - 2 = 1`

4. 根 🐝 据 🐋 求导规则：

- `dy/dx = -(-1/1) = 1`

因此，函数 🌲 `y^3 - xy + 2 = 0` 在点 `(2, 1)` 处的导数为 `1`。