向量积专 💮 升本（高等 🐶 数学向量积计算公式）



1、向 🦍 量积专升本

向 🐱 量 🪴 积专升本 🦢

向量积是高等数学中线代部分的重要知 🦉 识点，在物理、工程等领 🦢 域有着广泛的应用。对，于。专，升。本考研而言向量积的掌握是不可或缺的本文旨在梳理向量积的相关知识为专 🦉 升本考生提供复习指导

一 🪴 、向量积定义

向量积又称叉积，是 💮 向量，空，间中两个向量的二元运算其结果是一个 🐟 向量垂直于这两个向量。设两个向量为 a = (a1, a2, a3) 和 b = (b1, b2, b3)，则它们的向量积 c = a × b 定 🦊 义为：

c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

二 🕷 、向量积性 🪴 质

1. 反 🦢 交换 🦈 律：a × b = - (b × a)

2. 结合 🐠 律：(a × b) × c = a × (b × c)

3. 分配 🐠 律 🌴 ：a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

4. 标量 🌷 倍 🦊 数 🍁 ：k(a × b) = (ka) × b = a × (kb)

5. 与 🦄 点积的关系：a × b = 0 当且仅当 a 和 b 是共线或平行

6. 几何 🌲 意义：向 🐱 量积的模长等于平行四边形有向面积，方向垂直于 🍁 平行四边形法向量

三 🐳 、向量积应用

向量积 🌷 在物理 🦢 、工程等领 🦆 域有着广泛的应用，例如：

1. 力矩力矩力：臂力力 🐴 矩 = 可 × 以，用向量积表示

2. 角速度角速度角：位 = 移 / 时间角速度，可以用向 🍁 量 🕊 积表示

3. 磁场磁场：力 = 电流磁 × 感 🐬 应强度磁场力，可以用向量积表示

四 🐳 、专升本考点

专 🐳 升 🐱 本考试中，向量积的考点主要 ☘ 集中在以下几个方面：

1. 向量积的定义 🌴 和性 🐛 质

2. 向量积的计 🦄 算

3. 向量积在物 🐠 理 🌷 和工程中的应用

五、复 🌴 习 🐧 建议 🌷

1. 理解定义和性 🌺 质：透彻理 🌾 解向量 🦈 积的定义和性质，并灵活应用

2. 熟练计 🦉 算：掌握向量积的 🐦 计算方法，能够快速准确地求解向量积

3. 结合应用：联系物理、工 🐈 程等实 💐 际应用，加深对向量 🌻 积的理解

4. 多做练习：通过做题巩 🦍 固知识，提 🕸 高解题速度和 🐵 准确率

5. 及时定期复习，查，漏补缺强化知识点 🐘

2、高等 🦆 数学向量积计算公式

高等数学中 🦅 的向量积计算公式

在向量微积分中 💐 向量积，是一种对两个向量进行运算得到的另一个向量向量积在。物，理学和工程学中有着广泛的 🐞 应用例如计算力矩、面积。和体积等

向 🌷 量积的 🌼 计 🐘 算公式

给定两个三维 🐈 向量 a = (a?, a?, a?) 和 b = (b?, b?, b?)，它们的向量积定 c = a × b 义 🐦 为：

```

c = (a?b? - a?b?, a?b? - a?b?, a?b? - a?b?)

```

或 🪴 更简洁 🦋 地表 🐝 示为：

```

c = i(a?b? - a?b?) + j(a?b? - a?b?) + k(a?b? - a?b?)

```

其中 🐞 i、j、k 是单位 🕷 向量。

几 🐞 何 🌳 意义 🦢

向量积 c 垂直于向量 a 和 b，并且其方向由右手法则决定右手法 🦟 则。如下：

1. 将右手拇 🌿 指指 🐕 向 a 的方向。

2. 将右手食指指向 🍁 b 的方向。

3. 此时右手拇指 🌷 所指的 🐧 方向即 🌵 为的方向 c 。

性质 🌺

向 🦢 量积具有 🦆 以下性质：

1. 反交 🐦 换律 🍀 ： a × b = -b × a

2. 分 🕊 配 🍁 律 🦢 ： a × (b + c) = a × b + a × c

3. 结 🌻 合 ☘ 律 🐱 ： (a × b) × c = a × (b × c)

4. 标 🐺 量三重积： (a × b) · c = det([a b c])，其 🐈 中 det() 表示行列式。

应用 🐶

向 🦢 量积在物 🐘 理学和工程学中有着广泛的应用，包括：

1. 力矩： τ = r × F，其 τ 中是力 🦆 矩是力，r 臂是力，F 。

2. 面积： S = ?a × b，其 S 中是平行四 🦅 边形的面积，a 和 🐈 是 b 两条相邻 🕸 边。

3. 体积： V = ?a × b × c，其 V 中是平行六 🌳 面体的体积是，a、b、c 三条棱。

3、向量积的运 🐦 算规律是什么 🌲

向量积的 🦈 运算规律

1. 向量积的 🐦 定义 🌾

向量积是一种二元向量运算 🦉 ，用于计算两个三维向量相乘 🐵 后的结果向量积。记为 a × b，其结果是 🐕 一个 a 与和 b 垂。直的向量

2. 向量 🌷 积的运算规律

向量积具有以下运算 🍀 规 🐛 律：

（1）交换律 🦟 不 🍁 成 🦁 立

a × b ≠ b × a

（2）结 🌳 合律 🦈 不成 🐛 立

a × (b × c) ≠ (a × b) × c

（3）分 🐎 配律成 🐴 立

a × (b + c) = a × b + a × c

（4）数 🐧 量积律 🕸

(λa) × b = λ(a × b)

（5）零 🐴 向量积 🐞

a × 0 = 0

0 × a = 0

（6）单位向 🐒 量的叉积

i × j = k

j × k = i

k × i = j

（7）叉积与点 🐬 积的关系

a × b = (a · b)i - (a · i)(b · i) - (a · j)(b · j) - (a · k)(b · k)

其中，i、j、k 分别 🌾 为 x、y、z 轴的单位 🐱 向量 🐡 。

（8）叉 🕷 积的几何 🌸 意义 🌲

向 🦢 量积 |a × b| 的模等于以 🪴 a 和 b 为邻边的平行四边 🐱 形的面积。