专 🐘 升本向量的运 🌼 算（专升本向量的运算的所有公式）



1、专 🐈 升本向量 🐘 的运算

专升本向 🦈 量的运算 🐡

一、向量的加 🌴 减法

向量加法：将两 🐳 个向量的起点重合 🐬 ，终点连线所得的向量就是它们的和。

向量减法：将两个向量的起点 🐼 重合，终点相连所得的向量就是它 🐱 们的差。

二、向量 🐯 的数乘 🪴

数乘：将一 🌳 个 🐕 向量与一个数相乘，所得的向量 🐧 为原向量的数倍。

当数为 🌾 正时，向量方向不变当数为；负时，向量 🦅 方向相反。

三 🌾 、向 🌵 量 🍀 的内积

内积：两个 🌹 同维向量的内积等 🐠 于它们的对应分量相乘的和。

内 🦄 积 🐈 是一个标量，具有以下性质：

交 🌷 换 🕊 律：`a·b = b·a`

结 🐅 合律 💮 ：`(a·b)·c = a·(b·c)`

分配 🦉 律：`a·(b+c) = a·b + a·c`

四、向量的 🐧 叉积

叉积：两个三维向量的叉积为一个与 🐞 两个向量都垂 🪴 直的新向量。

叉积是一 🐴 个向量，计算公式 🐋 为：

`a×b = (a?b? - a?b?, a?b? - a?b?, a?b? - a?b?)`

2、专 🌺 升本向量的运算的所有 🐞 公式

专 🐱 升本向量的运算公式指南

1. 向 🐬 量加法

公 🐋 式 🌼 ： a + b = (a? + b?, a? + b?, ..., a? + b?)

2. 向量 ☘ 减法

公 🐠 式： a - b = (a? - b?, a? - b?, ..., a? - b?)

3. 向 🕊 量数乘

公 🦈 式 🐱 ： ka = (ka?, ka?, ..., kan)

4. 向 🐋 量的点积 🐱

公 🐴 式： a · b = a?b? + a?b? + ... + a?b?

5. 向量 🌷 的叉积

公式 🌿 ： a × b = (a?b? - a?b?, a?b? - a?b?, a?b? - a?b?)

6. 向 🐡 量模

公 🦟 式 🐺 ： |a| = √(a?2 + a?2 + ... + a?2)

7. 向量单位化 🐈

公 🕷 式 🌺 ： u = a/|a|

8. 向 💐 量距 🐶 离

公 🐞 式： d(a, b) = |a - b|

9. 向量 🐛 投 🐬 影 🐈

公式 🐛 ： proj?b = (a · b/|a|2) a

10. 向量线性相关和线性无关 🦋

线性相关： 存在 ☘ 非 💮 零标量 k?, k?, ..., k?，使得 k?a? + k?a? + ... + k?a? = 0

线 🌴 性无 🦟 关： 不存在非零标量 k?, k?, ..., k?，使得 🐱 k?a? + k?a? + ... + k?a? = 0

11. 向量组 🍁 的秩

公 🐝 式 🦍 ： r(A) = dim(row space(A)) = dim(col space(A))

3、向量运算的基本法则 🐱

向 🦟 量运算的基本法则

1. 向量加法 🦄 和减 🐞 法 🦊

加法：两个向 🐎 量的加法是将这两个 🐦 向量的首尾部对齐首部，与首部，相，连尾部与尾部相连新的向量从第一个向量的首部指向第二个向 🕊 量的尾部。

减法：两个向量的减法是将第二个向量的方向反转，然后将其与第一个向量相加 🕷 。

2. 向 🌼 量数乘

数乘：将一个数与一个向量相乘，结，果是一个与原向量 🐧 同向或反向长度为原向量长度乘以该数的新向量。

数 🕸 乘 🌵 交换律：a(bV) = (ab)V

负数乘 🦆 向量：-V = V的反 🐺 向向量 💐

3. 向量 🌸 点乘

定义：两个 🐞 非零向量的点乘是两个向量长度乘积的余弦值，即：

V · W = |V| |W| cosθ

其中 🕸 ，θ是两个向量 🌸 之间的夹 🦆 角。

性 🌵 质 🌳 ：

分 🐡 配 🌲 律 🌲 ：V · (W + X) = V · W + V · X

交 🐈 换 🐧 律 🦢 ：V · W = W · V

自反性 🦄 ：V · V = |V|2

4. 向 🦢 量叉乘

定义：两个非零向量的叉乘是一个垂直于这两个向 🌾 量 🕸 的向量，其 🐘 ，长：度等于这两个向量面积的余弦值即

```

V × W = |V| |W| sinθ n

```

其中，θ是两个向量之间的夹角是，n垂直于V和的W单位法向量 🕊 。

右手法则 🐋 ：用右手的大拇指沿第一个向量方向指，食指沿第，二个向量方向指则中指指向叉乘结果的方向。

5. 其 🐵 他 🐼 性质

零向量零向量：与任何向量的和、差 🐧 、数乘和 🐱 点乘都为零。

单位向量：长 🐕 度为1的向 💮 量称为单位向量。

垂直向量：两个向量的点乘 🌺 为零时，这两个 🐶 向量垂直。

平行向量：两个向量的叉乘为零 💐 时，这两个向 🐴 量平行。