专升本向量 🐱 的运算（专升本向量的运算的所有公式）



1、专升本向量的运算 🦅

专升本 🐈 向量的 🌿 运算

一、向量的加 🪴 减法

向量加法：将两个向量的起点重合 🐋 ，终点连线所得的向量 🪴 就是它 🍁 们的和。

向量减法：将两 🐦 个向量的起点重合，终点相 🦍 连所得的向量就是它们 🦄 的差。

二 🌵 、向量的数乘

数乘：将一个向量与一个数相乘 🐈 ，所得的向量为原向量的数倍 🌷 。

当数为正时，向量 🐎 方 🐦 向不变当数为 🕷 ；负时，向量方向相反。

三、向量的内 🦁 积 🕷

内积：两个同维向量 🐈 的内积等于它们的对应分量相乘的和。

内积是一个标量，具有以下 🐘 性质：

交 🐞 换律：`a·b = b·a`

结合 🦢 律 🌵 ：`(a·b)·c = a·(b·c)`

分 🐳 配 🦅 律 🐅 ：`a·(b+c) = a·b + a·c`

四、向量 🐴 的叉 🐵 积

叉积：两 🦈 个三维向量的叉积为一个与两个向量都 💮 垂直的新向量 🕸 。

叉积是一 🐒 个向量，计算公式为：

`a×b = (a?b? - a?b?, a?b? - a?b?, a?b? - a?b?)`

2、专升本向量的运算的 🕷 所有公式

专升本向量的运算公式指 💐 南

1. 向量 🐼 加法 🍁

公 🦅 式 💐 ： a + b = (a? + b?, a? + b?, ..., a? + b?)

2. 向量 🌹 减法 🐝

公 🦍 式 🪴 ： a - b = (a? - b?, a? - b?, ..., a? - b?)

3. 向量 🌳 数 🐯 乘

公 🐕 式 🐶 ： ka = (ka?, ka?, ..., kan)

4. 向量 🐱 的 🐕 点积 💮

公 🐋 式 🐒 ： a · b = a?b? + a?b? + ... + a?b?

5. 向量的叉积 🌳

公 🦟 式 🐵 ： a × b = (a?b? - a?b?, a?b? - a?b?, a?b? - a?b?)

6. 向量 💐 模

公 🌺 式 🐞 ： |a| = √(a?2 + a?2 + ... + a?2)

7. 向量单位化 🐒

公式 🌻 ： u = a/|a|

8. 向 🐝 量 🌴 距 🪴 离

公 🦁 式 🕷 ： d(a, b) = |a - b|

9. 向 🦉 量 🦉 投 🐘 影

公 🐺 式 🐳 ： proj?b = (a · b/|a|2) a

10. 向量线性相关和线性无 🦁 关

线 🦁 性相关： 存在 🐝 非零标量 k?, k?, ..., k?，使得 k?a? + k?a? + ... + k?a? = 0

线性无关 🕷 ： 不存在非零标量 k?, k?, ..., k?，使得 k?a? + k?a? + ... + k?a? = 0

11. 向量 🌳 组的秩 🦍

公式 🦍 ： r(A) = dim(row space(A)) = dim(col space(A))

3、向量运算的基本法 🐅 则

向量运 🦅 算的基本法则 🐞

1. 向量加 🌺 法和 🍁 减 🦋 法

加法：两个向量的加法是将这两个向量的首尾部对齐首部，与首部 🕷 ，相，连尾部与尾部相连新的向量从第一个向量的首部指向第二个向量 🐯 的尾部。

减 🦉 法：两个向量的减法是将第二个向量的方向反转，然后将其与第一个向量相加。

2. 向量数乘 🕸

数乘：将一个数与一个向量相乘，结，果是一个与 🦊 原向 🌼 量同向或反向长度 🌸 为原向量长度乘以该数的新向量。

数乘 🐅 交 🌴 换律 🐝 ：a(bV) = (ab)V

负 🍀 数乘向量 🐠 ：-V = V的反向向量 🌷

3. 向 🐡 量 🦉 点 🌵 乘

定义：两个非零向量 🦆 的点乘是 🐺 两个向量长度 🐶 乘积的余弦值，即：

V · W = |V| |W| cosθ

其中 🐝 ，θ是两个向量之间的夹角 🦆 。

性质 🌵 ：

分配律 🌻 ：V · (W + X) = V · W + V · X

交 🦄 换 🦊 律：V · W = W · V

自 🌼 反 💐 性 🐵 ：V · V = |V|2

4. 向 🐵 量 🦊 叉乘 🦁

定义：两个 🐅 非零向量的叉乘是一个垂直于这两个向量的向量，其，长 🐘 ：度等于这两个向量面积的余弦值即

```

V × W = |V| |W| sinθ n

```

其中，θ是两个向量 🐕 之间的夹角是，n垂 💮 直于V和的W单位 🌷 法向量。

右手法则 🐠 ：用右手的大拇指沿第一个向量方向指，食指沿第，二个向量方向 🪴 指则中指指 🐵 向叉乘结果的方向。

5. 其 🌹 他 🐛 性 🐞 质

零向量零 🐋 向量 🍀 ：与任何向量的和、差、数乘和点乘都为零。

单 🦄 位向量：长度为 🐶 1的向 🐡 量称为单位向量。

垂直向量：两个向量的点乘为 🐋 零时，这 🕊 两个向量垂直。

平行向 🐡 量：两个向量的叉乘为零时，这两个 🦊 向量平行。