复合函数 🌿 求导 🐋 专升本（高等数学复合函数求导例题100道）



1、复合函数求导 🐈 专升本

复合函数求 🌼 导专升本

1. 复合 🦆 函数 🦄

复合函数是指将一个函 🦢 数的输出作 🌷 为另一个函数的输入。例如函数，和 f(x) = sin(x) 则复合函数 g(x) = x^2， h(x) = f(g(x)) = sin(x^2)。

2. 复合函数求 🐴 导法则

复合函数的导数可以根据链式法则 🌻 求得，其 🌼 公式 🐱 为：

h'(x) = f'(g(x)) g'(x)

其 🌻 中 🐺 ：

h(x) 是复 🍁 合函 🐝 数

f(x) 是 🐱 外函 🐞 数 🦢

g(x) 是内函数 🐟

步 🐦 骤：

1. 求出内函数 🌹 g(x) 的导数 🐈 g'(x)。

2. 将 🐋 g(x) 代入外函数 f(x)，得到 f(g(x))。

3. 求出 f(g(x)) 的 🐅 导数 f'(g(x))。

4. 将步骤 1 和步骤 3 的结果相乘，得到复合函数的导 🦄 数 h'(x)。

例 🐅 题 🌷 ：

求复 🐈 合函数 h(x) = cos(x^3) 的导 🐠 数。

解 🦢 ：

内函数 🌼 g(x) = x^3，g'(x) = 3x^2

外 🦟 函数 🍀 f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)

因此，根 🐧 ，据链式 🐟 法则复合函数的导数为：

h'(x) = -sin(g(x)) g'(x) = -sin(x^3) 3x^2 = -3x^2sin(x^3)

2、高等数学复合函数 🐳 求导例题100道

高等 💐 数学复合 🌸 函数求导例题 100 道

简介 🦈

复合函数求导是高等数学中一项重要的技术，在微积分和其他数学领域都有广泛的应用。本文汇集了 🕸 100 道复合函数求导，例。题旨在帮助学生掌握 🕊 这一重要概念

1. 基本求导 🌸 法 🍀 则

1. 复合函数求导法则：如果 🐦 f(x) = g(h(x))，其中 🐵 g(x) 和 h(x) 均，可导则 f'(x) = g'(h(x)) h'(x)

2. 链式法则 🌺 ：如果 🦅 y = f(u) 且则 🐎 u = g(x)， $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

2. 分部 🐳 积 🐧 分 🐘

1. 分部 🐅 积分公式：对 🌻 于两个可导函数 u(x) 和 🐼 v(x)，有 $\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$

2. 复 🐅 合 🕸 分部积 🦅 分：如果 u(x) = f(g(x))，则 $\int u(x)dx = f(g(x))g'(x) - \int f'(g(x))g'(x)^2dx$

3. 实 🌷 例

1. 求 🕊 导：

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

解 🐒 ：

$f(x) = (x^2 + 1)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

2. 求 🌹 导：

$h(x) = \sin^2(3x)$

解 🐺 ：

$h(x) = (\sin(3x))^2$

$h'(x) = 2(\sin(3x)) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x) \cos(3x) = 3\sin(6x)$

3. 求 🐞 导 🕊 ：

$g(x) = e^{2x + 3}$

解 🍀 ：

$g(x) = e^{2x} \cdot e^3$

$g'(x) = e^{2x} \cdot 2 + e^3 \cdot 0 = 2e^{2x}$

4. 求 🦋 导 🦊 ：

$f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$

解 🐴 ：

使用分 🍀 部 🌿 积分：

$u(x) = x^3 + 1, v'(x) = (x^2 - 1)^{-1}$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - \int (x^3 + 1)' \cdot (x^2 - 1)^{-1} dx$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - \int 3x^2 \cdot (x^2 - 1)^{-1} dx$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - 3\int x^2 \cdot (x^2 - 1)^{-1} dx$

继续使用分部 🐕 积分：

$u(x) = x^2, v'(x) = (x^2 - 1)^{-1}$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - 3[(x^2)(x^2 - 1)^{-1} - \int 2x(x^2 - 1)^{-1} dx]$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - 3[(x^2)(x^2 - 1)^{-1} - 3\int x(x^2 - 1)^{-1} dx]$

继续使用分部积分 🐬 ：

$u(x) = x, v'(x) = (x^2 - 1)^{-1}$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - 3[(x^2)(x^2 - 1)^{-1} - 3[(x)(x^2 - 1)^{-1} - \int (1)(x^2 - 1)^{-1} dx]$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - 3[(x^2)(x^2 - 1)^{-1} - 3[(x)(x^2 - 1)^{-1} - 3(x^2 - 1)^{-1}]$

$f'(x) = (x^3 + 1)\cdot (x^2 - 1)^{-1} - 3[(x^2 + 2x - 3)(x^2 - 1)^{-1}]$

这些 🪴 复合函数求导例题涵盖了基本法则和更高级的技术，旨在帮助学生深入理解和掌握复合函数求导的概念。通，过，练。习这些例题学生可以提高他们的求导技能并为更复杂的数学问题做好准备 🐟

3、复合函数求导计算 🐴 题带答案

复合函数 🕸 求导计算题 🐧

1. 求 🐧 导数 🌵

求函数 🦁 f(x) = sin(x^2 + 3x) 的 🌼 导数 🦄 。

答案 🍀 ：

f'(x) = 2x cos(x^2 + 3x) + 3 cos(x^2 + 3x)

2. 求 🐯 导 🐺 数 🐯

求函数 🌸 f(x) = e^(x + ln(x)) 的导 🐝 数 🦋 。

答 🐟 案 🕊 ：

```

f'(x) = e^(x + ln(x)) (1 + 1/x)

```

3. 求导数 🌿

求 🐯 函数 f(x) = log(sin(x) + 2) 的导 🐶 数 🌳 。

答 🌴 案 🐵 ：

```

f'(x) = cos(x) / (sin(x) + 2)

```

4. 求 🐼 导数

求函数 🍀 f(x) = tan(e^x) 的导 🌺 数 🐡 。

答 🐳 案 🐝 ：

```

f'(x) = e^x sec^2(e^x)

```

5. 求 🦊 导数 🐵

求函 🌿 数 f(x) = arctan(x^2 - 1) 的导数。

答 🦄 案 🦢 ：

```

f'(x) = 2x / (1 + (x^2 - 1)^2)

```